The vanishing discount problem and viscosity Mather measures. Part 2: Boundary value problems

In (Part 1 of this series), we have introduced a variational approach to studying the vanishing discount problem for fully nonlinear, degenerate elliptic, partial differential equations in a torus. We develop this approach further here to handle boundary value problems. In particular, we establish new representation formulas for solutions of discount problems, critical values, and use them to prove convergence results for the vanishing discount problems. Dans (première partie de cette série), on a introduit une approche variationnelle pour l'étude du problème d'actualisation évanescente pour des équations dégénérées elliptiques complétement non-linéaires posées sur un tore. Nous continuons ici de développer cette approche pour traiter les problèmes avec conditions au bord. Nous établissons en particulier de nouvelles formules de représentation des solutions du problème d'actualisation, des valeurs critiques, et nous les utilisons pour démontrer des résultats de convergence pour le problème d'actualisation évanescente.